PRGRAM LINIER

Masalah Program linier adalah mengenai optimalisasi dengan keterbatasan tertentu. Keterbatasan dan optimalisasi ini harus dibentuk dahulu model matematikanya ;
yang secara garis besar dibagi 2 bagian :
– constraint ( Persyaratan )
– objective Function (Fungsi Tujuan / Sasaran)

Langkah

  • Tentukan variabelnya (x=… ; y = ….)
  • Buat model matematikanya dari : 1) Fungsi tujuan dan 2) Persyaratan
  • Tentukan daerah yang memenuhi persyaratannya
  • Tentukan titik esktrim daerah tersebut
  • Substitusi koordinat titik ekstrim ke fungsi tujuan
  • Bandingkan nilai yang didapat
  • Jawaban disesuaikan dengan pertanyaan (maksimum/minimum)

contoh :

MASALAH MAKSIMUM

1. Seorang pedagang akan membuat kue A dan B. Kue A membutuhkan    150 gr tepung dan 50 gr mentega. Kue B membutuhkan 75 gr tepung    dan 75 gr mentega. Tepung yang tersedia ada 2250 gr dan mentega    yang tersedia ada 1750 gr. Jika kue A memberi keuntungan Rp 100,00    dan kue B Rp 125,00 tiap unitnya. Berapa keuntungan maksimum    yang mungkin diperoleh pedagang itu ?

Tabel

Kue A Kue B Tersedia
Tepung
Mentega
150
50
75
75
2250
1750
KEUNTUNGAN 100 125

Misalkan banyaknya kue A yang dibuat x buah dan kue B yang dibuat     y buah, maka persoalan menjadi :

Maksimumkan :
f(x,y) = 100x + 125y (fungsi objektif/keuntungan)

dengan syarat (ds):
150x + 75y £ 2250 ® 2x + y £ 30 …(1)
50 x + 75y £ 1750 ® 2x + 3y £ 70 …(2)
x,y ³ 0
catatan : bentuk persyaratan £

Titik Ekstrim

A(0,23 1/3) ; B(15,0) ; (5,20)
f(x,y) = 100x + 125y
f(A) = 100(0) + 125(23) = 2875
(dalam hal ini roti tidak pecahan)
f(B) = 100(15) + 125(0) = 1500
f(C) = 100(5) + 125(20) = 3000

Jadi keuntungan maksimum pedagang itu adalah Rp 3.000,00 ; yaitu dengan membuat 5 unit kue A dan 20 unit kue B.

2. Seorang penjahit pakaian mernpunyai persediaan barang katun 16 m,     sutera 11 m dan wool 15 m.
Model pakaian I membutuhkan 2 m katun, 1 m sutera dan 1 m wool     per unit. Model pakaian II membutuhkan 1 m
katun, 2 m sutera dan 3 m wool per unit.Keuntungan pakaian model I     Rp 3.000,00 dan model pakaian II Rp 5.000,00 per unit.
Tentukan berapa banyak masing-masing pakaian harus dibuat agar     didapat keuntungan yang sebesar-besarnya ?

Tabel

Model I Model II Tersedia
Katun
Sutera
Wool
2
1
1
1
2
3
16
11
15
KEUNTUNGAN 3000 5000

Misalkan : Banyaknya model I yang dibuat = x
model II yang dibuat = y

Maksimumkan f (x,y) = 3000x + 5000y

ds : 2x + y £ 16 (1)
x + 2y £ 11 (2)
x + 3y £ 15 (3)
x;y ³ 0

Titik Ekstrim

A(8,0) ® TP antara garis (1) dengan sb-x
B(7,2) ® TP antara garis (1) dengan (2)
C(3,4) ® TP antara garis (2) dengan (3)
D(0,5) ® TP antara garis (3) dengan sb-y

f (x,y) = 3000x + 5000y

f(A) = f(8,0) = 3000(8) + 5000(0) = 24.000
f (B) = f(7,2) = 3000(7) + 5000(2) = 31.000
f(C) = f(3,4) = 3000(3) + 5000(4) = 29.000
f(D) = f(0,5) = 3000(0) + 5000(5) = 25.000

Jadi keuntungan maksimum adalah Rp 31.000; yaitu dengan membuat 7 buah model pakaian I dan 2 buah model pakaian II.

MASALAH MINIMUM

3)Dalam satu minggu tiap orang membutuhkan paling sedikit 16 unit    protein , 24 unit karbohidrat dan 18 unit lemak Makanan A    mengandung protein, karbohidrat dan lemak berturut-turut 4, 12 dan    2 unit setiap kg. Makanan B mengandung protein, karbohidrat dan    lemak berturut turut 2 , 2 dan 6 unit setiap kg. Berapa kg    masing- masing makanan harus dibeli setiap minggunya, agar    kebutuhan terpenuhi, tetapi dengan biaya semurah-murahnya, bila 1    kg makanan A harganya Rp 1.700,00 dan 1 kg makanan B harganya    Rp 800,00 ?

Tabel

A B Kebutuhan
Protein
Karbohidrat
Lemak
4
12
2
2
2
6
16
24
15
HARGA 1700 800

Misalkan : Banyaknya makanan A yang dibeli adalah x kg
Banyaknya makanan B yang dibeli adalah y kg

Minimumkan f (xy) = 1700x + 800y
ds : 4x + 2y ³ 16 ® 2x + y ³ 8 (1)
12x + 2y ³ 24 ® 6x + y ³ 12 (2
2x + 6y ³ 18                   ®   x + 3y ³ 9 (3)
(Catatan : Bentuk persyaratan ³ )

Titik Ekstrim

A (0,12) adalah titik potong antara garis (2) dan sumbu y.
B (1, 6) adalah titik potong antara garis (1) dan garis (2).
C (3, 2) adalah titik potong antara garis (1) dan garis (3).
D (9, 0) adalah titik potong antara garis (3) dan sumbu y.

f (x,y) = 1700x + 800y

f(A) = f(0,12) = 1700(0) + 800(12) = 9600
f(B) = f(1, 6) = 1700 (1) + 800( 6 ) = 6500
f(C) = f(3, 2) = 1700(3) + 800( 2 ) = 6700
f(D) = f(9, 0) = 1700(9) + 800( 0 ) = 15300

Jadi biaya minimum adalah Rp 6.500; yaitu dengan membeli 1 kg makanan A dan 6 kg makanan B.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s